Aunque veas el LED del mando a distancia con el móvil, no necesariamente puede que veas estos otros ya que pueden estar utilizando una longitud de onda algo distinta (aun dentro del IR), pero el móvil la filtra.
Comprúebalo en OpenTrack con la webcam.
Según la hoja de características la pata larga es el Cátodo (negativo). ¿Por qué dices que es al revés?
Cuando lo conectas todo y te consume 109 mA un LED, ¿qué tensión cae entre las dos patas del diodo?
Si los pones en paralelo, alimentados a 5V, pon una resistencia de unos 35 Ohm para que caigan 3.5 V en ella y pasen 100 mA.
Si pones los tres LEDs en serie, pon una de tan solo 5 Ohm. Con 10 Ohm (que no es ná de resistencia) te pasan 50 mA y eso igual no consigue hacer que el LED luzca bien.
Yo probaría a ponerlos en paralelo solo por ver si funciona primero. Ojo que si las resistencias son de 1/4W, se van a calentar bastante porque tienen que disipar P = V*I = 3*5 V * 0.1 A = 350 mW. Para probar un momento no se van a quemar. Para dejarlo montado así, sería mejor conseguir resistencias de medio watio o bien poner dos resistencias de 70 Ohm en paralelo.